Feladatokat is bőséggel hagyott az utókor matematikusaira

Lax Péter születésének 100. évfordulója alkalmából rendez emlékkollokviumot a Rényi. Magyar kutatók is bemutatják olyan munkáikat, amelyek szorosan kapcsolódnak Lax Péter életművéhez.

„Peter D. Lax, azaz Lax Péter Dávid munkássága hidat teremtett (…) a tiszta és az alkalmazott matematika, valamint az absztrakt elmélet és a tudományos számítás között, azt a meggyőződését tükrözve, hogy a mögöttes matematika univerzális” – írta a New York Times tavaly májusi nekrológjában, kiemelve, hogy Lax Péter életműve tovább él nemcsak a modern matematika számos területén, hanem abban a szemléletben is, amely az elméleti gondolkodásra és a valós problémák megértésére nem külön világokként, hanem ugyanannak a tudománynak a részeiként tekint. A 2005-ben neki ítélt Abel-díj indoklása is azt emeli ki, hogy Lax Péter „kivételesen egyesítette az elméleti és az alkalmazott matematikát, és olyan fogalmakat talált, amelyek egész területeket rendeztek új alapokra”. Életművének különlegessége nem pusztán abban rejlik, hogy számos fontos tételt és módszert dolgozott ki, hanem abban is, hogy hidat épített a matematika elvont elmélete és a valós világ számítási problémái között.

Tóth Bálint akadémikus, a Rényi Valószínűségszámítás és Statisztika Osztályának kutatóprofesszora a szervezője a Rényi Intézet Lax Péter emlékére rendezett kollokviumának. A 2026. szeptember 21-én a Nagyteremben olyan magyar kutatók munkáit is bemutatják, akiknek tevékenysége szorosan kapcsolódik Lax Péter eredményeihez. A programot ITT lehet megtekinteni.

„A három előadás Lax Péter tudományos munkájához és eredményeihez kapcsolódik. Az előadások egyrészt olyan elméletekre és tételekre épülnek, amelyek mind az ő nevét viselik, másrészt megismerjük belőlük a folytatást, miközben dióhéjban az életművéről is kapunk benyomást. Az volt az elképzelésem, hogy Lax munkájához kapcsolódó magyar szerzőkkel is ismertessük meg a közönséget, ezt szem előtt tartva kértem fel az esemény előadóit” – idézi fel a programtervezés időszakát Tóth Bálint, aki néhányszor maga is találkozott Lax professzorral, így számos személyes emléket is őriz a magyarul élete végéig irodalmi igényességgel beszélő Lax Péterről.

 „Az én életemre ő személyesen is hatást gyakorolt, megalapozta a vonzódásomat a Lax-féle matematika iránt. Szerethető és pozitív figura volt, miközben tapasztaltuk, hogy határozott véleményt formált az őt körülvevő világról. Nemcsak zseniális kutató, hanem kiváló személyiségű ember volt, aki tisztán látta eredményeinek tudományalakító hatását és gyakorlati hasznosságát, de soha nem kérkedett és nem vágott fel” – osztja meg élményeit Tóth Bálint, aki először még 1989-ben a skóciai Edinburgh-ban hallotta az ott akkor díszdoktori címmel kitüntetett Lax Péter plenáris előadását. „A habitusa szerény volt, nem fényezte magát, miközben nagyon mély matematikát mutatott be – folytatja –, mégis átjött az a mérhetetlen tudás és szellemi erő, aminek a birtokában volt.” (A fotón balról indulva Lax Péter és felesége, Lovász László, Faragó István és Tóth Bálint látható.

„Lax Péter nemcsak zseniális kutató volt, hanem egy igazi gondolkodó. Célunk, hogy kutatásaihoz és megértéséhez is közelebb hozzuk a közönséget.” 

Lax Péter munkásságának különlegességét talán az mutatja a legjobban, hogy a neve nem egyetlen elmélethez kötődik. Lax–Milgram-lemma (funkcionálanalízis), Lax-ekvivalenciatétel (pde-k numerikus módszerei), Lax–Friedrichs- és Lax–Wendroff-sémák (pde-k numerikus módszerei), Lax-féle entrópiamegoldások elmélete (hiperbolikus megmaradási törvények elmélete), Lax–Levermore-elmélet (integrálható rendszerek alacsony diszperziós limesze), Lax-párok (integrálható rendszerek, szolitonok elmélete), Lax-Phillips szóródás-elmélet (hullámok szóródása ütközőkön): ezek ma is különböző matematikai területek alapvető fogalmai és eszközei.

 „Magyarországon nincs sok matematikus, aki Lax Péter témáit folytatja” – hangsúlyozza Tóth Bálint professzor. „Az általa művelt matematika még mindig nem eléggé honos nálunk. A funkcionálanalízisnek ez a konkrét területe még fejlesztendő itthon, és ez természetesen érinti Lax folyadékdinamikai életművét is. Létezik erős funkcionálanalízis, ami ugyanakkor nem vagy kevésbé a parciális differenciálegyenletek világa (előbbi Riesz Frigyes és Szőkefalvi Nagy Béla öröksége). A fizikában már vannak közvetlenül kapcsolódó kutatások, ezért is hívtam meg egy fizikusprofesszort, Forgács Pétert a Wignerből, ő egy matematikai orientációjú fizikus, mert Lax életében ez a „leágazás” is fontos” – részletezi Tóth Bálint. „Az egyik kutatási terület, ahol például vannak itthoni munkák, a funkcionálanalízis, ezen belül a Lax–Milgram-tétel. Emellett fontos kérdés a hidrodinamikai határátmenet: hogyan lehet a folyadékok mozgását leíró, nagy léptékű (makroszkopikus) differenciálegyenleteket levezetni az egyes részecskék mozgását meghatározó, mikroszkopikus Newton-törvényekből. Vagyis hogyan lesz az egyes részecskék sokaságának apró, véletlenszerű mozgásából a folyadék egészének jól leírható viselkedése? – ez a matematika és a fizika egyik nagy és nehéz problémája.”

Tóth Bálint a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet kutatóprofesszora, a valószínűségszámítás egyik nemzetközileg elismert magyar kutatója. Fő kutatási területei a sztochasztikus folyamatok, a véletlen bolyongások és a kölcsönható részecskerendszerek. Olyan matematikai modelleket vizsgál, amelyekben véletlen események sorozata alakítja egy rendszer viselkedését. Tóth Bálint fizikából szerzett diplomát és matematikából tudományos fokozatot. A Rényi professzoraként az érdekli, hogyan viselkednek hosszú távon olyan rendszerek, amelyekben sok véletlen esemény történik – különösen akkor, ha a múlt, a környezet vagy más részecskék is befolyásolják azt, ami később történik. Azaz, milyen szabályok születnek a véletlenből, amikor nagyon sok véletlen esemény hat egymásra, és hogyan lesz az egyes részecskék sokaságának apró, mikroszkopikus mozgásából a folyadék egészének nagy léptékű, szabályos mozgása. Vagyis hogyan vezetnek az egyes részecskék mozgását leíró fizikai törvények a folyadékok és más sokrészecskés rendszerek viselkedését leíró makroszkopikus egyenletekhez. „A hidrodinamikai limeszek területe elképzelhetetlen Lax Péter hiperbolikus megmaradási törvényeinek ismerete nélkül” – egészíti ki.

A 20. század második felében egyre fontosabbá vált, hogy a matematika ne csak leírja, hanem számolhatóvá is tegye a természet jelenségeit. Hogyan terjed egy hullám? Mi történik egy folyadékkal, amikor nagy sebességgel áramlik? Hogyan írható le egy lökéshullám? Tóth Bálint megemlíti, hogy a fentiek mellett Lax Péternek bőven vannak még eredményei (többek között módszerek a parciális differenciálegyenletek numerikus megoldásánál, például a már fent leírt Lax–Friedrichs-módszer), amelyeknek szintén vannak azóta (az 1950-es évek óta) fejleményei, de ezekhez jelentős magyarországi hozzájárulás nincs. Ehhez a típusú matematikához viszont szorosan kapcsolódik a kollokviumra előadóként meghívott (Németországban élő, magyar gyökerekkel rendelkező) ifj. Székelyhidi Lászlónak, a turbulencia élvonalbéli kutatójának, a Max Planck Hálózat lipcsei „Institute for Mathematics in the Sciences” igazgatójának tudományos tevékenysége.

A közönség soraiba olyan szaktekintélyeket is várnak, mint a maga idejében hidrodinamikai limeszek elméletének egyik úttörőjeként és meghatározó alakjaként tisztelt Fritz József, aki Tóth Bálint egyik mestere is, vagy éppen az MTA Matematikai, Fizikai és Műszaki Osztályainak akadémikus és köztestületi tagjai. „Amit Fritz Józseffel és akkori tanítványommal, Valkó Benedekkel (Valkó Benedek jelenleg a Wisconsini Egyetem Madisoni Kampuszának professzora –szerk.) a 2000-es évek elején csináltunk, szorosan kapcsolódott Lax Péter entrópia-megoldás elméletéhez, Lax Péter életművének egyik konkrét szelete"– utal Lax professzor hatalmas szakmai és emberi örökségére, és tevékenységének kivételesen széles spektrumára. „Több területen alkotott kiemelkedőt. Mind a funkcionálanalízishez tartozik, de konkrét problémákba ágyazva. Ez is a matematikai kutatás, mint hivatás csúcsára emeli őt, számos eredménye és díja mellett.”

Tóth Bálint elmondja azt is, hogy Lax Péter nagyon fiatalon még kombinatorikával is foglalkozott, és ugyan nem volt közös cikke Erdős Pállal, de Erdős egy publikációjában épít a fiatal Lax tételére, és erre formálisan is utal a cikkében. (Lax saját nyilatkozatai szerint ez kb. 1,5-es Erdős-számot jelent – szerk.) „Nyilván szerepet játszott az is, hogy Neumann Jánossal kapcsolatba került, aki mentorálta is őt. A háború után óriási és rettentően nehéz volt a parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása. Ezek pedig praktikusan kellettek a repülőgépgyártáshoz és a hidrogénbomba tervezéséhez is. Numerikusan írtak le igen bonyolult jelenségeket. Ebbe a munkába kapcsolódott be a fiatal Lax Péter, és vált a parciális differenciálegyenletek témaköreinek pápájává. Nagyon releváns, alkalmazható matematika, ugyanakkor „tiszta” matematika ez” – vélekedik Tóth Bálint, kiemelve, hogy Lax Péter munkássága arra példa, hogy nincs határ a tiszta és az alkalmazott matematika között. Ez a szétválasztás mesterkélt” – magyarázza Tóth Bálint, hozzáfűzve, hogy munkatársaival nagy lelkesedéssel rakták össze az emlékkonferencia programját. Külön kiemeli Maga Balázst, a Rényi Analízis Kutatási Osztályának tudományos munkatársát, akiről azt mondja, reméli, hogy folytatni fogja a Lax-féle „vonalat” ezen a területen. (A Rényi fiatal kutatójának meglátásairól és tanácsairól a nagy nyelvi modellek matematikai képességeit illetően korábban ITT írtunk).

Az American Mathematical Society már az 1992-es Steele-díj odaítélésekor úgy fogalmazott: Lax négy évtizede a matematika egyik meghatározó ereje, akinek hatása „óriási” volt. Az AMS értékelése szerint éppen az volt Lax egyik legnagyobb erőssége, hogy a tiszta és alkalmazott matematikát összekapcsolta, emellett több mint ötven PhD-hallgatója volt, és a számos fiatal matematikus révén a hatása tovább sokszorozódott. Az Abel-díj bizottsága szerint Lax nemcsak kutatóként, hanem tanárként, szerzőként és a fiatal matematikusok mentoraként is rendkívüli hatást gyakorolt. Egyszerre változtatta meg a matematika elméleti alapjait, a számítógépes számítás módszereit és azt is, ahogyan a matematikusok a fizikai világ problémáira tekintenek. 

Mindezek nyomán nem lehet meglepő, hogy Lax Péter feladatokat is bőven hagyott örökül az utókornak, hiszen a 20. század egyik legnagyobb hatású matematikusaként kötődik a neve a parciális differenciálegyenletektől és a funkcionálanalízistől a numerikus matematikán át a matematikai fizika számos területéhez. Tóth Bálint példaként jegyzi meg a feladatokat firtató kérdésre, hogy a hiperbolikus megmaradási törvényeknek, a hidrodinamikai típusú egyenleteknek nincs unicitáselmélete. „Pontosan erről a problémáról szól ifj. Székelyhidi László előadása. A hidrodinamikai típusú egyenleteknek nem egyértelműek a megoldásaik, illetve vannak olyan megoldások, amelyeknek nincs fizikai értelmük, és ki kell választani a sok matematikailag lehetséges megoldás közül azt, amelyik a fizikailag értelmes folyamatot írja le.  A Lax Péter által kidolgozott entrópiakondíció segít ezt eldönteni. De ez utóbbiaknak sem tisztázott az unicitása, az egyértelműsége. Ez egy óriási problémakör, ami máig nyitott. Másrészt – összegzi Tóth Bálint –, van a matematikának egy szelete, ahol úton-útfélen előjönnek Lax meghatározó munkái, eredményei, tehát technikai értelemben is megkerülhetetlen.”

Lax Péter életműve nem lezárt életmű. „A Lax-féle nyitott kérdések pont olyan izgalmasak a matematika számára, mint az Erdős-féle nyitott kérdések. Nagyon mély és fontos problémák. Nagysága kortársai és utódai szerint végső soron abban állt, hogy a matematika különböző világai között teremtett kapcsolatokat. Megmutatta, hogy egy absztrakt elméletből gyakorlati számítási módszer születhet, hogy egy fizikai probléma új matematikai struktúrához vezethet, és egy jól megválasztott matematikai fogalom évtizedekkel később egészen más területeken is kulcsfontosságúvá válhat. Nem csupán számos fontos eredmény szerzőjeként, hanem a modern matematika gondolkodásmódját formáló tudósként emlékezünk rá a Rényiben 2026. szeptember 21-én.