Domokos Gábor akadémikus a természetben és a művészetben előforduló kitöltésekről tartott előadást, amely "Természetes mintázatok címmel" magyarul is hallható az MTA-n november 3-án a Tudományünnep alkalmából.
A minket körülvevő folytonos térben és időben a tájékozódásunkat olyan tér- és időkitöltő mintázatok segítik, amelyek hézagmentesen és átfedések nélkül töltik ki a teret és az időt. Hogyan jönnek létre azok a formák és mintázatok, amelyekben nincsenek üres helyek, mégsem fedik át egymást? – teszi fel a kérdést Domokos Gábor akadémikus a Természetes kitöltések (Natural Tilings) című előadásában, amelyet angolul a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet Nagytermében tartott meg, de hamarosan magyarul is meghallgatható a Magyar Tudományos Akadémián, november 3-án, a Magyar Tudomány Ünnepe alkalmából.
| Domokos Gábor akadémikus, egyetemi tanár a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Építészmérnöki Kara Morfológia és Geometriai Modellezés Tanszékének professzora. Kutatásai a geometria, a mechanika és a természetben megfigyelhető formák matematikai leírásai köré összpontosulnak. Várkonyi Péterrel közösen 2006-ban alkotta meg a Gömböcöt, az első ismert homogén, konvex testet, amelynek mindössze két egyensúlyi pontja van: egy stabil és egy instabil; bármilyen helyzetből elengedve visszatér stabil helyzetébe. A Gömböc felfedezése nemzetközi tudományos figyelmet keltett, és új összefüggések feltárását segítette a geometria és a természetes formák kutatásában. A Gömböc megalkotásának előzménye, hogy 1995-ben találkozott Vlagyimir Arnold orosz matematikus sejtésével, amely egy különleges, rendkívül kevés egyensúlyi helyzettel rendelkező test létezésére vonatkozott. Több mint tízéves kutatómunka eredményeként, Várkonyi Péterrel közösen 2006-ban megtalálta az elméletileg keresett testet, ez lett a Gömböc. Domokos Gábor 1998 óta a Cornell Egyetem tiszteletbeli professzora is. 2004-ben a Magyar Tudományos Akadémia levelező, 2010-ben pedig rendes tagjává választották. Munkáját 2007-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend lovagkeresztjével, 2019-ben pedig Gábor Dénes-díjjal ismerték el. |
„Építészmérnök vagyok, aki matematikai kurzusokra járt, de tiszta matematikával (alapkutatásokkal) soha nem foglalkoztam” – definiálja szakmai hátterét már a beszélgetésünk elején Domokos Gábor, hozzátéve, hogy számos közös cikket írt matematikusokkal, így a Rényi kutatóival is. „Matematikusok nélkül nem tudnék létezni, évekig jártam korábban is a Rényibe közös munkák miatt, például Szász Domokos és munkatársai felkérésére programoztam a mai számítógépek előtti években, még hallgatóként.”
A mostani előadás elsősorban a háromdimenziós tér természetes kitöltéseivel foglalkozik. „Gyönyörű példákat találunk az élő és az élettelen természetben egyaránt. Ilyen a Nautilus (csigáspolip) kamrákra osztott héja,amelyben a növekedés folyamatában újabb és újabb, hézag- és sarokmentes terek alakulnak ki.
Hasonlóan érdekesek a sziklák repedései, amelyek sokszor szabályos geometriai mintázatokat hoznak létre, vagy az emberi szövetek finom szerkezetei, ahol sejtek és sejtközi terek rendeződnek egymáshoz” – írja a BME professzora az előadás absztraktjában. A téma pedig olyannyira figyelemfelkeltő és megérthető, hogy nyáron a Medve Matek Élménytábor tagjai is végighallgatták, és álló ovációval köszönték meg neki, hogy ellátogatott hozzájuk. A Rényiben tartott előadása a Budapest Semesters in Mathematics hallgatóinak szólt.
„A tér ott van körülöttünk, de csak úgy tudjuk elképzelni, ha valamivel ki van csempézve. Magát a teret nem érzékeljük. A meszelt falnak is struktúrát ad, ha csempéket rakunk rá. Például egy kristályrács szerkezetet ad a térnek. Ez egy kapaszkodó nekünk, embereknek, hiszen mi térben és időben élünk. Ezek a mintázatok, mint a gondolkodásunk mankói, segítik a tér értelmezését. Leginkább azáltal tudjuk elképzelni a teret, hogy beleképzelünk egy kitöltést. A kitöltés pedig a csempézés, olyan elemekkel, amelyek nem fednek át és nincs köztük hézag. Ha átfedés és/vagy hézag van köztük, akkor azt „rendetlenség”-ként érzékelhetjük. Ez a térkitöltés már két dimenzióban is nagyon érdekes: gondoljunk például egy fürdőszoba falán sorakozó csempékre. Ám három dimenzióban sokkal kevésbé értjük a jelenséget – magyarázza Domokos Gábor, utalva arra, hogy erről a témáról több ezer éve már Platón és Arisztotelész is gondolkodott, sőt vitázott egymással. (A platóni testekkel (kocka, tetraéder, oktaéder, dodekaéder, ikozaéder) ki lehet-e tölteni a teret? – ez volt a vita tárgya. Platón szerint igen, Arisztotelész pedig rájött, hogy nem minden platóni test alkalmas arra, hogy kirakjuk vele a teret. Arisztotelész úgy vélte, hogy utóbbiak között vannak olyanok, amelyek nem találkozhatnak hézagmentesen.) A platóni testek a tökéletes geometriai szabályosság példái, de az 5 testből mindössze egyetlen, a kocka tölti ki a teret. Arisztotelész úgy vélte, hogy szabályos tetraéderekből is ki lehet rakni a teret. Érdekesség – hívja fel a figyelmet Domokos Gábor –, hogy Arisztotelésznek ez a tévedése 1500 évvel később jelentősen hozzájárult a térszög fogalmának megalkotásához – e fogalom ismerete nélkül pedig Arisztotelész aligha oldhatta meg a feladatot. Az is kérdés, hogy ha már tudjuk, hogy a szabályos tetraéderekből nem lehet teljesen kitölteni a teret, vajon mekkorák lesznek a köztes hézagok. Mindenképpen tény, hogy ezek a viták megtermékenyítették az emberi gondolkodást.
A térkitöltés mögött szigorú geometriai szabályok vannak. Például, a töredezett sziklák ugyan szinte soha nem kocka alakúak, de ha kiátlagoljuk őket, akkor a térkitöltések geometriai elmélete szerint a lapok, csúcsok számának átlaga pontosan megegyezik a kockáéval. „A Hármashatárhegyen ezt meg is mértük, és az átlagok meglepő módon több értékes jegyig egyeztek. Ez a fajta mintázat a természetben rendszeresen előfordul” – meséli Domokos Gábor. „Látunk teljesen más típusú térkitöltéseket is: egy szoba formája legtöbbször poliéder, ezért valójában poliéderes világban élünk. Az építészek ilyeneket terveznek: vagy azért, mert ezeket tudjuk elképzelni, vagy pont azért tudjuk éppen ezeket elképzelni, mert az építészek ilyeneket terveznek.”
A „Természetes kitöltések” című előadás néhány alapvető, mégis meglepő gondolatot mutat be a formák térbeli elrendeződéséről, a természetben megfigyelhető szerkezetek kialakulásának szabályairól.
A természet nagyon kedveli a kizárólag térben lehetséges, sarok nélküli, úgynevezett lágy térkitöltéseket, nem véletlen, hogy ezek több száz millió éve jelen vannak. Előfordulásukból sok tapasztalatot szerzett az ember is, amikor később mérnöki szerkezeteket hozott létre.
„Egy izomszövet belsejében egészen másképp néznek ki a (térkitöltő) cellák, mint egy épület belső terei. Ha sarkok lennének egy szövet membránjában, azokon a helyeken könnyen elszakadhatna a membrán. Síkban ugyanakkor lehetetlenség sarokmentességet létrehozni. Bár az építészek gyakran inkább a sarkos formákat részesítik előnyben, a mérnökök megtanulták a természettől a sarokmentes, feszültség-csúcsokat kerülő térkitöltést: gondoljunk akár a tengeralattjárók kialakítására, akár a repülőgépek ablakaira."
„Az ember és a tudomány évszázadokig nem foglalkozott következetesen a sarok nélküli térkitöltések jelenségével. Erre utaló geometriai konstrukció először Bernhard Riemannál jelent meg, egy olyan munkájában, amelyet a halála után jelentetett meg egy tanítványa” – eleveníti fel a történeti hátteret Domokos Gábor. „Engem személy szerint is sokat foglalkoztatott, hogy Riemannak ez hogy juthatott eszébe. Nem tudok ma sem egyértelmű választ adni” – vallja.
Ugyanakkor tény, hogy a sarok nélküli térkitöltések az ember alkotásaiban, a művészetben is megjelentek. Domokos Gábor szerint híres és jó példa erre a Laokoón-csoport, a Laokoón trójai papot és két fiát a kígyók halálos szorításában ábrázoló márvány szoborcsoport, amelyet Rómában, a Vatikáni Múzeumban őriznek.
„Ha közel megyünk, látjuk, hogy az alkotás lényegében végtagokból és kígyókból áll, egyetlen márványtömbből kifaragva. Ha további végtagokat és kígyókat képzelünk hozzá, akkor, a műalkotás belső logikáját követve, ezekkel az elképzelt elemekkel kitölthetjük a teljes teret, azaz visszakaphatjuk a teljes eredeti márványtömböt. Az ismeretlen ókori szobrász ezzel a munkájával rámutatott arra, hogy nemcsak kockákból, hanem henger jellegű objektumokból is ki lehet rakni a teret” – hívja fel a figyelmünket Domokos Gábor. „Michelangelo rögtön észrevette ezt. Az ő szobrászatában fel is lehet fedezni ennek a gondolatnak a hatását. Michelangelo azt vallotta, hogy az ókori szobrászművészetnek ez az alkotás a csúcsa, és ő a korabeli feljegyzések szerint sokat is beszélt erről a szoborról. Kevesen tudtak annyit a hézagmentes térkitöltésekről mint Michelangelo, hiszen egy márványtömb kifaragásánál nem lehet hibázni, majd visszacsinálni. Riemann pedig láthatta a Laokoón-csoportot, az életrajzából lehet erre következtetni, és az ő intuíciója megváltoztatott sokmindent, amit addig gondoltunk a térről és a tér kitöltéséről.”
„Nagyon sokat foglalkoztam ezzel, a geometriai és történeti háttérrel egyaránt. A geológiához és kozmológiához is közeledtem, radikális hatást gyakoroltak rám ezek a szokatlan és meglepő példák” – folytatja Domokos Gábor, és elmondja, hogy egy ilyen sarok nélküli térkitöltő testtel, ún. lágy cellával Kapu Tibor is kísérletezett az űrben: felvitt egy lágy cella-vázat és megtöltötte vízzel. „A víz gravitáció hiányában minimálfelületeket alkot. Riemann ötlete volt, hogy minimálfelületeket csinált, amelyek kitöltik a teret és egy ilyen felület természetes módon határoz meg lágy cellákat.”
| Domokos Gábor kutatásainak másik jelentős eredménye a lágy cellák elnevezésű új, univerzális geometriai formaosztály felfedezése, amelyet nemzetközi együttműködésben, Regős Krisztinával, G. Horváth Ákossal és Alain Gorielyvel közösen írtak le. A lágy cellák olyan alakzatok, amelyek éles csúcsok nélkül, hézagmentesen képesek kitölteni a teret. Hasonló formák számos helyen megjelennek a természetben, például az élő szövetekben, a tengeri csigaházakban és a zebra csíkozottságában; matematikai vizsgálatuk a természetes formák kialakulásának megértéséhez is hozzájárulhat. A kutatás azóta újabb eredményekkel bővült: a lágy cellák segítségével a kutatók az élő és élettelen anyagok mikroszerkezetei, köztük a habok és bizonyos polimerek geometriai modelljei közötti kapcsolatokat is feltárták. |
„Az ember elfogadja, hogy nemcsak sarkosan bontható a tér. A kozmoszban, a bolygóknál sem látunk sarkokat és olyan geometriai modellek is felállíthatók, amelyek a teljes kozmoszt sarokmentesen „feldarabolják”. A gondolkodásunkat és a szemléletünket gazdagítja, ha ezeket felismerjük – fűzi hozzá Domokos Gábor.
Látásmódja építészmérnökként kifejezetten hagyománytörő, de kutató és oktató professzorként szem előtt tartott céljai nagyon is kézzel foghatók. „Szeretnék belelkesíteni fiatalokat, hogy foglalkozzanak a háromdimenziós térkitöltés témájával. Hátha akad közöttük valaki, aki hasonlóan korszakalkotó tehetség és gondolkodó lehet, mint amilyen Riemann volt. De egy Riemannt nem lehet a semmiből kinevelni, kell egy kultúra és egy közösség, amelybe, ha évszázadonként beleszületik egy-egy korszakos zseni, akkor a közösség legalább ismerjen fel egy ilyen kivételes tudóst.”
„Amiről ma beszéltem, az nem mesterséges intelligenciával művelt matematikai kutatás. Pont azt szeretném megmutatni, hogy az AI után is van matematika. Inspirálni lehet és kell a fiatalokat. A mesterséges intelligencia – ha létezett volna is – nem hiszem hogy érdemben segített volna Riemann vagy Michelangelo korszakos felfedezéseiben, radikálisan új meglátásaiban.. Az emberi gondokodásnak ezt a különleges, kreatív szeletét (amely, ha szerényebb keretek között is, de sok emberben tökéletesen működik) nem képes „lelőni” az AI. Keveset tudunk, bőven vannak még természeti titkok – olyanok is, amelyeket a geometria eszközeivel írhatunk le."
"A tudomány nem egy ipar, amelynek célja Q1-es cikkek folyamatos termelése, pont ezért nehéz megmondani, hogy milyen kutatásokat érdemes finanszírozni. Bár nem mindig vesszük észre, a természet tálcán kínál olyan gyönyörű jelenségeket, amelyek a matematika nyelvén fogalmazhatóak meg, és amelyeket a matematikai leíráson keresztül érthetünk meg, sőt, új matematikai konstrukciókat inspirálhatnak. Ebben a folyamatban az AI csak nagyon korlátozott segítséget adhat, kreatív tudósokra, matematikusokra ezután is nagy szükség lesz."
A teljes, angol nyelven tartott előadás felvétele ITT nézhető végig.
Címlapkép: a BME hivatalos portréfotója Domokos Gáborról